Curioso


Curiosidad matemática: 0.\overline{9} = 1. La rayita encima del nueve significa periódico: 0.9999…

En este caso no significa que tener tantos nueves nos permita aproximar el valor a 1, lo que es evidente. No, no es eso. El signo matemático = significa que no hay absolutamente ninguna diferencia entre ambos. Que puedes usar indistintamente uno y otro.

¿Cómo es eso? Hay varias pruebas que se pueden encontrar en la wikipedia, pero pondré aquí algunas de ellas:

Tenemos que:

\frac{1}{9} = 0.11111...

9\times \frac{1}{9} = 9\times 0.11111...

1 = 0.9999...

Aquí tenemos otra:

x = 0.9999...

10x = 9.9999...

10x - x = 9.9999... - 0.9999...

9x = 9

x = 1

Otra un poco más complicada, pero muy bonita, consiste en usar series infinitas y un sumatorio convergente de ellas de la siguiente manera:

0.999... = 9\frac{1}{10}+9\left(\frac{1}{10}\right)^2+9\left(\frac{1}{10}\right)^3+... = \sum_{k=1}^\infty 9\left(\frac{1}{10}\right)^k

Una fórmula sencilla de demostrar para ese tipo de sumatorios (esta serie es conocida como geométrica), es \sum_{k=0}^\infty n^k = \frac{1}{1-n} siempre y cuando n en valor absoluto sea menor que 1, en nuestro caso es 1/10, así que nos vale si sacamos 9 como factor común del sumatorio, y le restamos el elemento del sumatorio para k=0 al empezar desde 1, y nos queda:

\sum_{k=1}^\infty 9\left(\frac{1}{10}\right)^k = 9\times \left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}}-1 \right) = 9\left(\frac{10}{9}-1\right) = 9\frac{1}{9} = 1

Hasta aquí, un saludo a todos y feliz año.

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