Gravedad


Mientras estudio para mi final de física, he recordado algunas clases en el instituto en el que el profesor preguntaba que cuál sería la gravedad en el centro de la Tierra. Alguno dijo 1, nunca entendí porqué diría ese número, otro dijo infinito levantando la mano muy rápido no fuese a haber alguien que también supiese que la gravedad en el centro de la Tierra era infinita y se quedase sin demostrar lo que sabía, pero, ¿tiene esto acaso sentido?

La gravedad es una fuerza que actúa entre los objetos con masa, atrayéndolos. La expresión matemática de esta fuerza vectorial, descubierta (o inventada) por Newton, es la siguiente:

\vec{F} = -G\frac{Mm}{r^2}\vec{u}

G es la constante de gravitación universal, y su valor es aproximadamente: G = 6.67 \cdot 10^{-11} en el sistema internacional. M y m son las dos masas que se atraen, y r es la distancia que los separa. \vec{u} es un vector unitario en la dirección del vector que une ambas masas, y como es una fuerza atractiva, entonces todo va con un signo menos. Aquí nos interesan valores absolutos de esa fuerza, es decir, diremos que dos masas se atraen con una fuerza de x Newtons, así que nuestra expresión es la siguiente:

F = G\frac{Mm}{r^2}.

Ahora sería normal suponer que cuanto menor sea el radio, mayor será la fuerza, y que esta tiende a \infty cuando r tiende a 0. Esto es correcto, pero con la Tierra no podemos hacer lo mismo. ¿Por qué? Es algo muy fácil de explicar con la Ley de Gauss para el campo gravitatorio, sin embargo, lo haré de manera más intiutiva.

La gravedad que sentimos en la Tierra viene de cada partícula de la Tierra que tenga masa. Cada una de ellas nos atrae con una fuerza que depende de nuestra distancia a ella, al sumar todas esas fuerzas queda una sola hacia abajo que nos atrae hacia la Tierra, con un valor en la superficie de los famosos 9.8 m/s² (que varía según la latitud y altitud).

Vayámonos ahora al centro de la Tierra, ¿qué ocurre? Supongamos un trozito de Tierra en cualquier punto de esta, este trozito nos atraerá con una determinada fuerza. Sin embargo estamos en el centro de la Tierra, así que habrá un trozito simétrico a este que nos atraerá con la misma fuerza pero en sentido contrario. Al sumar esas fuerzas vectorialmente, se anularán. Para cada trozo de Tierra que te atrae con una fuerza, hay otro simétrico que te atrae con la misma fuerza, así que el total de fuerzas de atracción es 0, esto es: la gravedad es 0.

A cualquier otro radio, sólo consideramos la masa que esté, en radio, más cerca del centro de nosotros, tal como afirma la ley de Gauss, podemos crear una esfera imaginaria con centro en el centro de masas de la Tierra, y de radio el que queremos considerar, y considerar. El valor de la gravedad al radio de esa esfera es el mismo que si sólo consideráramos la masa interior de esa esfera. Dicho de una manera simple, las lineas de campo de las masas externas a la tierra entran y salen, así que se anulan, y el campo gravitatorio depende del total de lineas de campo que atraviesen la esfera y el sentido en el que lo hagan.

Bien, calculemos el valor de la gravedad a una distancia r, menor que el radio de la Tierra R_t, así que estamos dentro. (Vamos a suponer una densidad constante de la Tierra, lo cual es totalmente falso, para simplificar un poco los cálculos). Calculamos la densidad de la Tierra, a la que llamaremos \rho, con la definición de densidad, a saber \rho = \frac{masa}{volumen}. El volumen de una esfera de radio r es \frac{4}{3}\pi r^3, así que la densidad de la Tierra es: \frac{3M_t}{4\pi R_t^3}.

Ahora consideramos un radio cualquiera r, para saber la masa interior a ese radio, sólo hay que multiplicar el volumen de la esfera de ese radio r por la densidad de nuestra Tierra. El volumen tiene la misma expresión de antes, así que queda:

\rho\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\not{4}\not\pi \not{3}M_tr^3}{\not{4}\not\pi \not{3}R_t^3} = M_t\left(\frac{r}{R_t}\right)^3

Una expresión bastante sencilla. Ahora saquemos el valor de la gravedad, esto es, la aceleración. Sabemos por la primera ley de Newton que F = \frac{dp}{dt}, aquí las masas no cambian, así que F = ma. Si sustituimos en la expresión de la fuerza gravitatoria:

F = G\frac{Mm}{r^2}

a = \frac{GM}{r^2}

Ahora sólo hay que sustituir la M por la masa para el radio r hallado antes:

a = \frac{GM_tr^{\not{3}}}{\not{r^2}R_t^3} = \frac{GM_t}{R_t^3}r

Sabiendo que GM_t = g_0R_t^2, siendo g_0 la gravedad en la superficie (9.8 ms⁻²), lo podemos dejar en función de nuestra conocida gravedad, y queda:

a = \frac{g_0}{R_t}r

Vaya, dependencia lineal del radio. Es fácil ver que si radio =0, entonces gravedad = 0, así que en el centro de la Tierra no hay gravedad. Vemos también que la función es coherente con lo sabemos, si radio es el radio de la tierra, entonces queda la gravedad de la superficie.

Consideremos ahora la gravedad fuera de la tierra, a cualquier radio. Es más sencillo ya que la masa es siempre la misma, la de la tierra, y queda simplemente:

a = \frac{g_oR_t^2}{r^2}

Dependencia cuadrática con el radio. Si nos alejamos dos unidades de espacio la gravedad se verá reducida por un factor de 4. Os dejo un gráfico hecho en Octave con el valor de la gravedad para cualquier radio. El radio de la tierra, es decir, la superficie, está marcada con la línea vertical roja, y vemos que llega a su valor máximo (9.8 ms⁻²). También he marcado dos valores para radios exteriores a la superficie de la tierra. Uno de ellos está en 10⁷ metros, y vemos que al aumentar el radio al doble 2·10⁷, la gravedad es afectada por un factor 4, es 4 veces menor (aproximadamente 1).

Anuncios
Esta entrada fue publicada en Física, Tutoriales y etiquetada , , , , , , , , , . Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s