¿Cuántas veces cabe el 5 en n²-n?


He visto esta frase en la zona de frases con las que la gente llega a mi blog. No he posteado nada de este estilo, así que no se cómo ha podido llegar aquí, pero lo he resuelto y porque me ha parecido curioso, aunque al final ha resultado no ser tan interesante.

El número n se puede escribir como: n=5^ip, i valdrá 0 si el número no es divisible por 5, y cualquier entero positivo si sí lo es.

También podemos escribir n^2-n = 5^km, y queremos saber cuánto vale k.

Supongamos que i\not = 0, es decir, que n es divisible por 5. En ese caso:

(5^ip)^2-5^ip = 5^ip(5^ip-1) = 5^km

5^ip-1\equiv-1\mod 5, así que 5^ip-1 no es divisible por 5, y por lo tanto todos los factores 5 de n²-n están en 5^ip, y por lo tanto en este caso k=i. Resuelto, pero no podemos dar un resultado numérico general.

Falta el otro caso, en el que i=0. En ese caso n^2-n = 5^0p(5^0p-1) =p(p-1) = 5^km. p no tiene factores 5, sólo puede haberlos en p-1. Las posibilidades son:

p-1\equiv 0\mod 5
p-1\equiv 1\mod 5
p-1\equiv 2\mod 5
p-1\equiv 3\mod 5

La posibilidad de ser congruente con 4 no la contamos, porque significaría que 5 divide a p-5, y que por lo tanto 5 divide a p, y ese era el primer caso. Si es congruente con 1, 2 ó 3, entonces p-1 tampoco tiene divisores de 5, y en ese caso k=0.

Si es congruente con 0, entonces p-1 = 5^jc, así que: n^2-n = 5^jcp, c y p no son divisibles por 5, como hemos comentado antes, así que: k=j.

Terminado. Si el que buscó eso vuelve aquí que me diga de dónde lo sacó 🙂 No es un ejercicio nada elegante, no conseguimos resultados generales, sino que siempre depende de n, y por lo tanto en cada caso habría que hacer las cuentas para ver cuántas veces está el 5 en n²-n. Si alguien sabe de una solución general, que la diga por favor.

Un saludo.

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