James Cameron 3D

Oh 3D

Hago esta viñeta aprovechando el anuncio del estreno de Titanic en 3D, ¿quién lo diría?

Impresionante

Temporal Distortion, visto en DakotaLapse.

La inducción no justifica la inducción

La inducción sólo mola cuando mola.

Star Wars: Episodio 1 3D

Moló.

Bueno, ya he visto el remake, propiamente dicho, del episodio 1 de Star Wars, la amenaza fantasma en 3D. El cómic no dice realmente como me siento con respecto a la película, por dos razones. La primera es que yo no la vi en el cine cuando la estrenaron en el 99, así que la primera viñeta no representa una escena real de mi vida, aunque me consta que es muy real en la vida de otra gente. La segunda es que sí que me gustó, así que la segunda tampoco representa nada que yo haya dicho.

No es la primera vez que la veo, ya la había visto un par de veces, y creo que la tengo en DVD por ahí perdida, y me parece una película entretenida. Me encantan las primeras, y esta, para qué engañarnos, no llega al nivel, aunque creo que está más hecha para dar un génesis de la historia que realmente empieza en el episodio 3, para los fans que quieren tener la visión oficial del origen de Darth Vader, como si la que piense el escritor vaya a ser más real que la piense cualquier dependiente de una tienda de comics (imagina que pongo aquí una foto del de la tienda de comics de Los Simpsons). La película me parece entretenida, quitando el principio que es un asco… pero tiene escenas bastante buenas. A mi me gustan mucho la carrera de vainas y la batalla final, por ejemplo, así que como todo lo que pasa en Tatooine.

Sin embargo, la película no ofrece realmente nada nuevo. No hay escenas añadidas y el 3D es bastante relativo, usándose simplemente para dar una cierta profundidad a las escenas.

En resumen, si te gustó la película, esto es lo mismo pero en 3D, así que no esperes nada nuevo, si no te gustó, pues esto tampoco te gustará.

Debates, debates…

Hay algo inversamente proporcional a la cantidad de faltas... Ah, sí! Es la coherencia argumental.

Función φ de Euler

Hoy: Otra curiosa función matemática, en este caso la función de Euler. Veamos primero su definición matemática formal:

Lo que está dentro de las llaves indica un conjunto formado por todos los números menores que m y que son coprimos con m, es decir, que el máximo común divisor de todos los números de ese conjunto con m es 1. Que el conjunto esté entre barras verticales | indica que hablamos del cardinal del conjunto, es decir, del número de elementos del conjunto.

En resumen, la función nos devuelve el número de números menores que m que son coprimos con m. Hay algunas deducciones muy directas y sencillas a partir de esto. Por ejemplo, .

Es evidente. Si p es primo, eso significa que los únicos números que lo dividen son él mismo y 1, así que ninguno más tendrá con él un divisor común distinto de 1, y por lo tanto todos los números anteriores serán coprimos e irán al conjunto devuelto, el número de elementos es por tanto todos los anteriores a él: p-1.

Podemos pintar fácilmente una gráfica que dibuje los valores de la función, pero soy vago y copio la imágen de por ahí (Google Imágenes). Sin embargo, programarlo debería ser muy simple. Sólo hay que hacer una función que devuelva verdadero a falso si dos números son coprimos. Os dejo un código en matlab que lo hace, aunque usa demasiadas funciones internas, así que me gusta poco. También es de por ahí, uno se siente vago en época de exámenes:

function t = totient(n)

[r c]=size(n);
n=reshape(n,1,r*c);
t=zeros(1,r*c);
f=zeros(1,10);

for k=1:r*c;
nk=n(k);
f=unique(factor(nk));
t(k)=nk*prod(1-1./f);
end
t=reshape(t,r,c);
p=find(n==1);
t(p)=1;
t=round(t);
return

%a demo of this program is
n=(1:50).';
t=totient(n);
[n t]

Vemos una distribución bastante lineal para algunos valores, aunque es bastante más simple demostrarla que para otras funciones como los resultados de los máximos valores de los números siguiendo la conjetura de Collatz, que vimos en un artículo anterior a este.

Por ejemplo, la linea de más pendiente, la que corresponde a los valores más altos, es fácil de sacar.

Es bastante evidente que esta linea corresponde a los números primos, ya que para estos , alcanzando los valores más altos. Para cualquiera dos números primos consecutivos, tenemos que la pendiente de la recta que los une es:

.

Ya que la diferencia de alturas es , ya que son los dos valores de la función para ambos primos, y la diferencia del eje x es . Vemos que la pendiente es 1, constante para cualesquiera dos primos consecutivos que cojamos, y por lo tanto lo será entre cualesquiera dos primos que cojamos, y esa recta pasará por encima de todos los valores. Si hacemos que pase por cualquiera de los valores, por ejemplo (2,1), obtenemos la altura de la recta (-1), y la recta es: .

Uno de los usos de esta función es el cifrado RSA, que usa una congruencia módulo .

Hasta aquí por hoy, un saludo.

Dah pruf!

Genial viñeta de SpikedMath.